La prochaine journée se déroulera le 14 décembre 2021 à l'Institut Henri Poincaré et sera financée par le projet ANR CCEM.
Exposés de synthèse
E. Humbert (Université François Rabelais)
Observabilité pour l'équation des ondes et localisation des fonctions propres.
Je présenterai une série de travaux réalisés en collaboration avec Y. Privat (Strasbourg) et E. Trélat (Sorbonne Université). Le point de départ a été un article sur l'étude de la constante d'observabilité pour l'équation des ondes, qui nous a amenés à étudier de manière plus approfondie
- une fonctionnelle appelée quantité géométrique qui exprime le temps minimum passé dans un domaine par les géodésiques de la variété,
- les mesures quantiques : c'est-à-dire les mesures limites de f_k^2 dv_g où (f_k) est une suite de fonctions propres associés à des valeurs propres du Laplacien tendant vers l'infini. En particulier, dans notre travail le plus récent, nous étudions les propriétés de ces mesures sur une variété produit.
Thomas Richard (Université Paris Est Créteil)
Implications quantitatives d’une minoration de la courbure scalaire.
Dans l’étude des variétés à courbure sectionnelle ou courbure de Ricci positive, les inégalités de comparaison sont un outil central. Faute de telles inégalités pour les variétés à courbure scalaire positive, l’étude de ces dernières a fait appel a des outils plus qualitatifs/topologiques. Récemment Gromov a introduit de nouvelles méthodes permettant d’obtenir des informations géométriques quantitatives sur les variétés à courbure scalaire positive. On montrera en particulier dans cet exposé :
- une majoration de la distance entre les deux composantes de bord d’une métrique à scal≥n(n-1) sur [-1,1]xT^(n-1) (n≤7) (Gromov).
- une majoration de la plus petite largeur des métriques à scal≥n(n-1) sur le cube [-1,1]^n (n≤7) (Gromov).
- une majoration de la taille de la plus petite 2-sphère topologiquement non triviale dans une S^2xT^(n-2) à scal≥2. (n≤7) (Zhu)
- une majoration conditionnelle de la taille de la plus petite 2-sphère topologiquement non triviale dans une S^2xS^2 à scal≥2.
Exposé de recherche
C. Valcu (Université Sorbonne Paris Nord)
Solving the constraint equations on Kaluza-Klein spacetimes.
We study the constraint equations for Einstein equations on manifolds of the form $\mathbb{R}^{n+1}\times T^m$, where $T^m$ is a flat m-dimensional torus. Spacetimes with compact directions were introduced almost a century ago by Theodor Kaluza and Oskar Klein as an early attempt of unifying electromagnetism and general relativity in a simple, elegant way. The aim of this article is to construct initial data for the Einstein equations on manifolds of the form $\mathbb{R}^{n+1}\times T^m$, which are asymptotically flat at infinity, without assuming any symmetry condition in the compact direction. We use the conformal method to reduce the constraint equations to a system of elliptic equation and work in the near CMC (constant mean curvature) regime. The main new feature of the proof is the introduction of new weighted Sobolev spaces, adapted to the inversion of the Laplacean on product manifolds. Classical linear elliptic results need to rigorously proved in this new setting. This is joint work with Cécile Huneau.
